Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣2x﹣a，則f′（0）=1﹣a．

由題意知1﹣a=2，即a=﹣1．

∴f（x）=ex﹣x2+x，則f（0）=1．

于是1=2×0+b，b=1．

（Ⅱ）由題意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．

設(shè)h（x）=ex﹣2x，則h′（x）=ex﹣2．

∴當(dāng)x∈（﹣∞，ln2）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；

當(dāng)x∈（ln2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)．

∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．

∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值為2﹣2ln2．

【解析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=ex﹣x2+x，再由f（0）=1求得b值；（Ⅱ）由題意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．令h（x）=ex﹣2x，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．