Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，點B₁在底面上射影D落在BC上．
（I）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB₁⊥BC₁，且∠B₁BC=60°，求證A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得到B₁D⊥AC，再由BC⊥AC結(jié)合線面垂直的判定定理可證明AC⊥平面BB₁C₁C，得證．
（II）先根據(jù)線面垂直的判定定理得到BC₁⊥平面AB₁C，從而得到BC₁⊥B₁C，進而可得到四邊形BB₁C₁C為菱形，再由中位線定理得到，DE∥A₁C，最后再由線面平行的判定定理得到A₁C∥平面AB₁D．

解答：解：（I）∵B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C

（II）連接A₁B和AB₁，交于點E，

AB1⊥BC1 AC⊥BC1 AB1與AC相交

?

BC1⊥平面AB1C B1C?平面AB1C

?BC1⊥B1C
∴四邊形BB₁C₁C為菱形，
∵∠B₁BC=60°，B₁D⊥BC于D，
∴D為BC的中點，
在三角形A₁BC中，DE∥A₁C
∴A₁C∥平面AB₁D．

點評：本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理和線面平行的判定定理．考查對立體幾何的基本定理的應(yīng)用．