【題目】求最大實數(shù)
，使得對任意
階簡單圖
，有不等式
，其中，
為圖的邊數(shù)，
為圖中三角形的個數(shù).
【答案】
【解析】
先證明一個引理.
引理 設
階簡單圖有
條邊，
個三角形.則
.
證明 因為階簡單圖中，個三角形共有
條邊，且每條邊至多出現(xiàn)在
個三角形當中，所以，
.
回到原題.
首先考慮特殊的階完全圖，有
.
令
，則
.
下面用數(shù)學歸納法證明：
對任意階簡單圖
成立.
當
時，結(jié)論顯然成立.
假設當
時，結(jié)論成立.
當
時，取
為
階簡單圖中度數(shù)最小的頂點，設其度數(shù)為
，并設余下的
個點構(gòu)成的簡單圖中有條邊，個三角形.則由引理知
.①
由歸納假設知.②
因為點度數(shù)最小，所以，
.③
設與點相鄰的個頂點之間連有
條邊，這條邊每條和點都形成一個三角形.故只需證明
. ④
易知，
，
.⑤
因此，
.
將式①、③代入上式得
.⑥
又由式⑤知
.⑦
由式②、⑥、⑦知式④成立，即當時，結(jié)論成立.
從而，對所有
，結(jié)論成立.
因此，.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】
，
.
（1）若
在
是增函數(shù)，求實數(shù)a的范圍；
（2）若在
上最小值為3，求實數(shù)a的值；
（3）若
在
時恒成立，求a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】學校藝術(shù)節(jié)對同一類的
，
，
，
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．
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【題目】有2013位來自不同國家的代表參加一個會議，每位代表都懂得若干種語言，已知其中任意四位代表之間都可進行交談而不需要此四位代表以外的其他人幫助，即此四人中的任意兩人都能講同一種語言而實現(xiàn)直接溝通，或者通過第三個人的翻譯實現(xiàn)間接溝通，或者通過他們各自的翻譯能講的同一種語言實現(xiàn)低效的間接溝通，證明：可以將所有代表分配住進671個房間，每個房間住3人，使得每個房間的3人都可以交談。
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【題目】從左到右依次寫出1到10000的全部正整數(shù)，然后去掉那些能被5或7整除的數(shù)，將剩下的數(shù)連成一排組成一個新數(shù)。試求：
（1）新數(shù)的位數(shù)；
（2）新數(shù)被11除的余數(shù)。
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【題目】已知函數(shù)
，其中
，
，
.
（Ⅰ）若
是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）當
時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意
，都有
恒成立，求實數(shù)
的最小值.
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【題目】某市移動公司為了提高服務質(zhì)量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調(diào)查，準備從本市
個人數(shù)超過1000人的大集團和8個人數(shù)低于200人的小集團中隨機抽取若干個集團進行調(diào)查，若一次抽取2個集團，全是小集團的概率為
．
求n的值；
若取出的2個集團是同一類集團，求全為大集團的概率；
若一次抽取4個集團，假設取出小集團的個數(shù)為X，求X的分布列和期望．
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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系
中，橢圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）求經(jīng)過橢圓
右焦點
且與直線
垂直的直線的極坐標方程；
（2）若
為橢圓
上任意-點，當點
到直線
距離最小時，求點
的直角坐標.
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【題目】2020年3月，各行各業(yè)開始復工復產(chǎn)，生活逐步恢復常態(tài)，某物流公司承擔從甲地到乙地的蔬菜運輸業(yè)務．已知該公司統(tǒng)計了往年同期200天內(nèi)每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，單位：件．注：蔬菜全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），并分組統(tǒng)計得到表格如表：
蔬菜量X | [40，80） | [80，120） | [120，160） | [160，200） |
天數(shù) | 25 | 50 | 100 | 25 |
若將頻率視為概率，試解答如下問題：
（1）該物流公司負責人決定隨機抽出3天的數(shù)據(jù)來分析配送的蔬菜量的情況，求這3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；
（2）該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運營從甲地到乙地的蔬菜運輸．已知一輛貨車每天只能運營一趟，每輛貨車每趟最多可裝載40件，滿載才發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利2000元；若未發(fā)車，則每輛貨車每天平均虧損400元．為使該物流公司此項業(yè)務的營業(yè)利潤最大，該物流公司應一次性租賃幾輛貨車？
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