Question

函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b是常數(shù)且a≠0）滿足條件：f（2）=0，方程f（x）=x 有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）問：是否存在實數(shù)m，n使得f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，如存在，求出m，n的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0得：4a+2b=0．再根據(jù)方程有等根，可得△=（b-1）²=0，可得b=1，解方程組求得a，b的值，
即可得到f（x）的解析式．
（2）由于f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，可得 2n≤

1

2

，即 n≤

1

4

，可得函數(shù)f（x）在[m，n]上
是增函數(shù)．再由函數(shù)的值域為[2m，2n]，求得m，n的值．

解答：解：（1）f（2）=0得：4a+2b=0． 方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x=0．
由此方程有等根，可得△=（b-1）²=0，可得b=1．------（2分）
解方程組

4a+2b=0 (b-1)2=0

，可得

a=- 1 2 b=1

，-----（4分）
∴f（x）=-

1

2

x2+x．------（5分）
（2）由于f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，------（2分）
∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴函數(shù)f（x）在[m，n]上是增函數(shù)．------（5分）
∴

f(m)=- 1 2 m2+m=2m f(n)=- 1 2 n2 +n=2n

，解得m=-2，n=0．
故存在實數(shù)m=-2，n=0，滿足條件．-----（7分）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．