Question

（2013•濟(jì)南二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

1-(-1)n

2

an-

1+(-1)n

2

bn，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1，可求a₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可得a_n與a_n-1的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n，由b_n+1=b_n+2，可得{b_n}是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求b_n．
（2）由題意可得cn=

2n -(2n-1)

n為奇數(shù) n為偶數(shù)

，然后結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，利用分組求和即可求解

解答：解：（1）當(dāng)n=1，a₁=2；                         …（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1．…（2分）
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)a₁=2，
∴an=2n．…（3分）
由b_n+1=b_n+2，得{b_n}是等差數(shù)列，公差為2．…（4分）
又首項(xiàng)b₁=1，
∴b_n=2n-1．…（6分）
（2）cn=

2n -(2n-1)

n為奇數(shù) n為偶數(shù)

…（8分）
∴T2n=2+23+…+22n-1+[3+7+…+（4n-1）]
=

2(1-4n)

1-4

+

3+4n-1

2

•n（10分）
=

22n+1-2

3

-2n2-n．                      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及求和公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用