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        1. 已知橢圓的左焦點為F(-,0),離心率e=,M、N是橢圓上的動點.
          (Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)設(shè)動點P滿足:,直線OM與ON的斜率之積為-,問:是否存在定點F1,F(xiàn)2,使得|PF1|+|PF2|為定值?,若存在,求出F1,F(xiàn)2的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
          (Ⅲ)若M在第一象限,且點M,N關(guān)于原點對稱,點M在x軸上的射影為A,連接NA 并延長交橢圓于點B,證明:MN⊥MB.
          【答案】分析:(Ⅰ)利用橢圓的左焦點為F(-,0),離心率e=,建立方程組,求得幾何量,從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)利用,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系,由直線OM與ON的斜率之積為,結(jié)合M、N是橢圓上的點,即可求得結(jié)論;
          (Ⅲ)設(shè)出坐標(biāo),證明kMN•kMB+1=0即可得到結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)解:由題設(shè)可知:,∴a=2,c=…2分
          ∴b2=a2-c2=2…3分
          ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:…4分
          (Ⅱ)解:設(shè)P(xP,yP),M(x1,y1),N(x2,y2),由可得:①…5分
          由直線OM與ON的斜率之積為可得:,即x1x2+2y1y2=0②…6分
          由①②可得:xP2+2yP2=(x12+2y12)+(x22+2y22
          ∵M(jìn)、N是橢圓上的點,∴x12+2y12=4,x22+2y22=4
          ∴xP2+2yP2=8,即…..8分
          由橢圓定義可知存在兩個定點F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),使得動點P到兩定點距離和為定值4;….9分;
          (Ⅲ)證明:設(shè)M(x1,y1),B(x2,y2),則x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,x1≠x2,A(x1,0),N(-x1,-y1)…..10分
          由題設(shè)可知lAB斜率存在且滿足kNA=kNB,∴….③
          kMN•kMB+1=+1④…12分
          將③代入④可得:kMN•kMB+1=+1=⑤….13分
          ∵點M,B在橢圓上,∴kMN•kMB+1==0
          ∴kMN•kMB+1=0
          ∴kMN•kMB=-1
          ∴MN⊥MB…14分.
          點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查軌跡方程的求法,考查學(xué)生的計算能力,考查分析解決問題的能力.
          練習(xí)冊系列答案
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                 (I)求過點O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程;

                 (II)設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與軸交于點G,求點G橫坐標(biāo)的取值范圍。

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          已知橢圓的左焦點為F,O為坐標(biāo)原點.
          (I)求過點O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程;
          (II)設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點,并且線段AB的中點在直線x+y=0上,求直線AB的方程.

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          (Ⅰ)若點G的橫坐標(biāo)為,求直線AB的斜率;

          (Ⅱ)記△GFD的面積為S1,△OED(O為原點)的面積為S2

          試問:是否存在直線AB,使得S1=S2?說明理由.

           

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          上頂點為B,過F,B,C三點作,其中圓心P的坐標(biāo)為

          (1) 若橢圓的離心率,求的方程;

          (2)若的圓心在直線上,求橢圓的方程.

           

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