Question

下面關(guān)于棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中的四個(gè)命題：
①與AD₁成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是8條；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

；
③從8個(gè)頂點(diǎn)中取四個(gè)點(diǎn)可組成 10 個(gè)正三棱錐；
④點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離是

6

3

．
其中真命題的編號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①與AD₁成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是8條，由棱柱的面對(duì)角線的夾角與位置關(guān)系進(jìn)行判斷；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

，求出線面角時(shí)行驗(yàn)證；
③從8個(gè)頂點(diǎn)中取四個(gè)點(diǎn)可組成 10 個(gè)正三棱錐，所組成的正三棱錐只能是三個(gè)面對(duì)角線組成的三角形為底面，有此特征即可驗(yàn)證；
④點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離是

6

3

，求出點(diǎn)到線的距離時(shí)行驗(yàn)證．

解答：解：①與AD₁成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是8條，由圖形中可以看出除了其所在面以及平行的兩個(gè)面外的四個(gè)表面中每個(gè)面的兩條面對(duì)角線都與AD₁成60°角，恰有8條，故命題正確；
②直線AA₁與平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

，取底面ABCD中點(diǎn)O，可證得∠AA₁O即是線AA₁與平面A₁BD所成角，求得線面角的余弦值為

6

3

，故此命題不對(duì)；
③從8個(gè)頂點(diǎn)中取四個(gè)點(diǎn)可組成 10 個(gè)正三棱錐，由圖形的結(jié)構(gòu)知，以8個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以此點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱為側(cè)棱可以 組成8個(gè)正三棱錐，由面對(duì)角線可以組成兩個(gè)正四面體，共可以組成10個(gè)正三棱錐，故命題正確；
④點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離是

6

3

，由于A₁B₁⊥側(cè)面B₁C，且側(cè)面是正方形，連接B₁C與BC₁交于一點(diǎn)M，由正方形的性質(zhì)知，此兩直線垂直，連接A₁M其長(zhǎng)度即為所求點(diǎn)A₁到直線BC₁的距離，利用勾股定理解得，其長(zhǎng)度是

6

2

，故命題不正確．
綜上知①③正確
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解題的關(guān)鍵是對(duì)棱柱中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系有著很好的理解，空間想像力比較強(qiáng)，才可以迅速找到判斷問(wèn)題的思路，代且圖象研究此類問(wèn)題是一個(gè)較好的辦法．