Question

設函數f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos²x+

3

sinx•cosx．
（1）求函數f（x）的最大值和最小正周期．
（2）設A，B，C為△ABC的三個內角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=

5

2

，求sinA．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為2sin（2x+

π

6

）+

1

2

，由此求出函數f（x）的
最大值以及最小正周期．
（2）根據cosB=

1

3

，f（

C

2

）=

5

2

，求出C=

π

3

，再由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，運算求得結果．

解答：解：（1）函數f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos²x+

3

sinx•cosx=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x
=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
所以函數f（x）的最大值是

5

2

，最小正周期為π．
（2）f（

C

2

）=2sin（C+

π

6

）+

1

2

=

5

2

，所以，2sin（C+

π

6

）=1，
又C為△ABC的內角，所以C=

π

3

．
又因為在△ABC 中，cosB=

1

3

，所以，sinB=

2 2

3

，
所以，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2 + 3

6

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的周期性和求法，求復合三角函數的值域，
屬于中檔題．