Question

醫(yī)生的專業(yè)能力參數(shù)K可有效衡量醫(yī)生的綜合能力，K越大，綜合能力越強，并規(guī)定：能力參數(shù)K不少于30稱為合格，不少于50稱為優(yōu)秀．某市衛(wèi)生管理部門隨機抽取300名醫(yī)生進行專業(yè)能力參數(shù)考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個樣本的合格率、優(yōu)秀率；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出一個樣本容量為20的樣本，再從這20名醫(yī)生中隨機選出2名．
①求這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率；
②設(shè)這2名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望．

Answer 1

（1）各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
∴這個樣本的合格率為1-0.2=0.8，
優(yōu)秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．
（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數(shù)依次為4，6，4，3，2，1．
從20名醫(yī)生中隨機選出2名的方法數(shù)為

C

220

=190，
選出的2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的方法數(shù)為

C

24

+

C

26

+

C

24

+

C

23

+

C

22

=31．
故這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率P=

31

190

．
②20名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的有6人，不是優(yōu)秀的有14人．
依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則P(X=0)=

C 214

C 220

=

91

190

，P(X=1)=

C 114 C 16

C 220

=

42

95

，P(X=2)=

C 26

C 220

=

3

38

．
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	91 190	42 95	3 38

∴X的期望值EX=0×

91

190

+1×

42

95

+2×

3

38

=

3

5

．