Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求實數(shù)a的值．
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)等于0得到導函數(shù)的零點，由導函數(shù)的零點把定義域分段，判斷出各區(qū)間段內(nèi)的導函數(shù)的符號，由導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷出極值點，由x=2是函數(shù)f（x）的極值點求實數(shù)a的值；
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，分離變量a后即可得到a的取值范圍；
（3）由原函數(shù)的導函數(shù)等于0求出導函數(shù)的零點，由零點對定義域分段，然后根據(jù)原函數(shù)的極值點與給出的區(qū)間端點值得大小關(guān)系分析原函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性求得原函數(shù)在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．

解答：解：（1）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
定義域為（0，+∞），
由f^′（x）=0，得x-2a=0，即x=2a．
所以，當x∈（0，2a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當x∈（2a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以在（0，+∞）上f（x）有極小值點x=2a，由已知x=2是函數(shù)f（x）的極值點，
所以2a=2，則a=1；
（2）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則f′(x)=

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤

x

2

在[2，+∞）恒成立，
所以a≤1．
所以使函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)的實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]；
（3）由（2）知，以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
若a≤0，則f^′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
f（x）在[1，e]上的最小值為f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合題意；
若a＞0，由f^′（x）=0，得x=2a．
當x∈（0，2a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當x∈（2a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
所以當2a≤1，即a≤

1

2

時，f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
最小值為f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合題意；
當2a≥e，即a≥

e

2

時，f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
最小值為f（e）=1+

2a

e

=3，a=e，符合題意；
當1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

時，f（x）在[1，e]上的最小值為f（2a）=ln2a+1=3，a=

e2

2

不合題意．
綜上，使函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3的實數(shù)a的值為e．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學思想方法，訓練了利用分離變量法求參數(shù)的范圍，解答的關(guān)鍵是會求基本初等函數(shù)的導函數(shù)和對變量的正確分類，是難題．