Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-ax．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，求a的取值范圍．
（Ⅱ）若a=3，當(dāng)時，關(guān)于x的不等式恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數(shù)的解析式，我求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[0，1]上存在唯一的零點，即f'（0）•f'（1）＜0，解不等式即可得到滿足條件的a的取值范圍．
（Ⅱ）將a=3代入，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值，然后根據(jù)函數(shù)恒成立的性質(zhì)，即可求出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+4x-a，
∵f′（0）=1-a，f′（1）=e+4-a，
又∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點
∴f'（0）•f'（1）＜0．
∴1＜a＜e+4
（Ⅱ）由，得，
即，
∵，∴，
令，則．
令，則φ'（x）=x（e^x-1）．
∵，∴φ'（x）＞0，∴φ（x）在上單調(diào)遞增，
∴，
因此g'（x）＞0，故g（x）在上單調(diào)遞增，
則，∴a的取值范圍是．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答此類問題的關(guān)鍵．