Question

如圖，正三棱錐A-BCD的底面邊長為2，側棱長為3，E為棱BC的中點．
（1）求該三棱錐的表面積S；
（2）求異面直線AE與CD所成角的大�。ńY果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可得斜高AE，可得三角形的側面面積，加上底面可得；
（2）取BD中點F，連結AF、EF，可得∠AEF就是異面直線AE與CD所成的角（或其補角），在△AEF中可得cos∠AEF，由反三角函數(shù)可得．

解答：解：（1）由題意結合勾股定理可得：
正三棱錐的斜高AE=

AB2-BE2

=

32-12

=2

2

∴表面積S=

3

4

×22+3×

1

2

×2×2

2

=

3

+6

2

（2）取BD中點F，連結AF、EF，
∵EF∥CD，∴∠AEF就是異面直線AE與CD所成的角（或其補角），
在△AEF中，AE=AF=2

2

，EF=1，
∴cos∠AEF=

1 2

2 2

=

2

8

．
∴異面直線AE與CD所成的角的大小為arccos

2

8

．

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及反三角函數(shù)和表面積的求解，屬中檔題．