Question

已知

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由向量數(shù)量積公式，并利用三角恒等變換化簡得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由此可得f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

2

]時，算出2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]．利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，
∴函數(shù)f(x)=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos²x
=

3

sin2x+（1+cos2x）=2sin（2x+

π

6

）+1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]
∴當(dāng)x=-

π

6

或

π

2

時，函數(shù)有最小值0；當(dāng)x=

π

6

時，函數(shù)有最大值為3
當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

2

]時，f（x）的值域的值域為[0，3]．

點評：本題給出向量含有三函數(shù)的坐標(biāo)，求函數(shù)的周期與值域．著重考查了向量的數(shù)量積、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．