Question

∫

1 -1

( 1-x2 +x)dx=

π

2

．

Answer 1

分析：由于

∫

-1 1

( 1-x2 +x)dx=

∫

1 -1

( 1-x2 +x)dx=

∫

1 -1

1-x2 dx+ ∫ 1 -1 xdx

，第一個積分根據積分所表示的幾何意義是以（0，0）為圓心，1為半徑第一、二象限內圓弧與坐標軸圍成的面積，只需求出圓的面積乘以二分之一即可，第二個積分利用公式進行計算即可．

解答：解：由于

∫

1 -1

( 1-x2 +x)dx=

∫

1 -1

1-x2 dx+ ∫ 1 -1 xdx

，

∫

1 -1

1-x2

dx表示的幾何意義是：以（0，0）為圓心，1為半徑第一，二象限內圓弧與坐標軸圍成的面積

∫

1 -1

1-x2

dx=

1

2

π×1=

π

2

，
又

∫

1 -1

xdx=

1

2

x2

|

1 -1

=0，
∴原式=

π

2

+0=

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點評：本題主要考查了定積分，定積分運算是求導的逆運算，解題的關鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進行求解，屬于基礎題．