Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）無零點(diǎn)，求證：b＞0；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩零點(diǎn)是相鄰兩整數(shù)，求證：f(-a)=

1

4

(a2-1)；
（3）若函數(shù)f（x）有兩非整數(shù)零點(diǎn)，且這兩零點(diǎn)在相鄰兩整數(shù)之間，試證明：存在整數(shù)k，使得|f(k)|＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）只需要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的根的問題即可解答；
（2）充分利用函數(shù)與方程的思想，在對(duì)應(yīng)方程當(dāng)中利用韋達(dá)定理即可解答；
（3）當(dāng)中充分利用數(shù)形結(jié)合的思想即可獲得相應(yīng)的不等條件，再結(jié)合二次函數(shù)配方利用函數(shù)的思想即可獲得函數(shù)值的范圍．

解答：解：（1）證明：f（x）=x²+ax+b無零點(diǎn)，
△=a²-4b＜0，
b＞

a2

4

≥0．
（2）證明：設(shè)f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
則2m+1=-a，m(m+1)=b=

1

4

(a2-1)，
所以f(-a)=b=

1

4

(a2-1)．

（3）證明：設(shè)相鄰兩整數(shù)為t、t+1，則f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a²-4b＞0，
根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，f^/（t）=2t+a＜0，f^/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
從而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+

a

2

＜0．
所以0＜t+

a

2

+1≤

1

2

或-

1

2

＜t+

a

2

＜0．
若0＜t+

a

2

+1≤

1

2

，
則0＜f(t+1)=(t+1+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，從而|f(t+1)|＜

1

4

；
若-

1

2

＜t+

a

2

＜0，
則0＜f(t)=(t+

a

2

)2+(b-

a2

4

)＜

1

4

，從而|f(t)|＜

1

4

．
所以，存在整數(shù)k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了零點(diǎn)概念、代數(shù)恒等變形、含參數(shù)的二次函數(shù)等知識(shí)，是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)比較綜合和深刻的考查．在解答過程當(dāng)中問題轉(zhuǎn)化的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想得到了淋漓盡致的考查，值得同學(xué)們體會(huì)反思．