Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(0＜a，0＜b)的右準(zhǔn)線與兩漸近交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2 3

  3

• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：關(guān)鍵是條件“以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F”如何用，故先計(jì)算FC的長(zhǎng)，再計(jì)算AB的長(zhǎng)，利用|AB|=2|FC|，建立雙曲線特征值a、b、c間的等式，解方程即可得雙曲線的離心率

解答：解：依題意設(shè)AB的中點(diǎn)為C，則C（

a2

c

，0），F(xiàn)（c，0），∴|FC|=c-

a2

c

=

c2-a2

c

=

b 2

c

將x=

a2

c

代入雙曲線漸近線方程y=

b

a

x，得y=

b

a

•

a2

c

=

ab

c

，∴|AB|=

2ab

c

∵以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F，∴|AB|=2|FC|
∴

2ab

c

=

2b 2

c

，即a²=b²，即c²=2a²
∴雙曲線的離心率為e=

c

a

=

2

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考察了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)離心率的求法，解題時(shí)要熟練的將幾何條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，具有一定的代數(shù)變換能力