Question

已知拋物線．
(1)若圓心在拋物線上的動(dòng)圓，大小隨位置而變化，但總是與直線相切，求所有的圓都經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率；
(3)若過(guò)正半軸上點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn),為拋物線上異于的任意一點(diǎn),記連線的斜率為試求滿足成等差數(shù)列的充要條件．

Answer 1

（1）；（2）；（3）直線與軸相垂直

試題分析：（1）本題考查拋物線的定義，由于直線是已知拋物線的的準(zhǔn)線，而圓心在拋物線上的圓既然與準(zhǔn)線相切，則它必定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以所有的圓必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，即定點(diǎn)；（2）這是直線與拋物線相交問(wèn)題，設(shè)如設(shè)，，則，兩式相減有，則，下面就是要求或，為此，我們?cè)O(shè)直線方程為，把它與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去，就可得到關(guān)于的方程，可得，，只是里面含有，這里解題的關(guān)鍵就是已知條件怎樣用？實(shí)際上有這個(gè)條件可得，這樣與剛才的，合起來(lái)就能求出；（3）設(shè)，成等差數(shù)列即，仿照（2）此式為①，由于直線可能與軸垂直，但不會(huì)與軸垂直，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程消去得關(guān)于的二次方程，可得，這樣①式可化為，從而得到，即直線的方程為，與軸垂直．
試題解析：(1) 由定義可得定點(diǎn)(1,0);（4分）
(2)設(shè),由,得（5分）
由方程組,得
得（7分）聯(lián)立上述方程求得:．（9分）
(3)（理）設(shè)直線的方程為,代入,得:,設(shè),則（11分）
若
，即
有，即：
由此得：，，（15分）
所以當(dāng)直線的方程為時(shí)，也就是成立的充要條件是直線與軸相垂直。（16分）