Question

甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲，由于計(jì)算錯誤，在A、B兩個噴霧器中分別配制
成12%和6%的藥水各10千克，實(shí)際要求兩個噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個容量為1千
克的藥瓶，他們從A、B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A
中，這樣操作進(jìn)行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為，B噴霧器中藥水的濃度為．
（1）證明：是一個常數(shù)；
（2）求與的關(guān)系式；
（3）求的表達(dá)式．

Answer 1

(1)18;(2);(3) .

解析試題分析：(1)利用n次操作后A和B的農(nóng)藥的和應(yīng)與開始時(shí)農(nóng)藥的重量和相等建立等量關(guān)系，證明是一個常數(shù)；(2)借助第一問的結(jié)論和第n次后A中10千克的藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式，求解與的關(guān)系式；（3）根據(jù)第二問的遞推關(guān)系，采用構(gòu)造數(shù)列的思想進(jìn)行求解.
試題解析：（1）開始時(shí)，A中含有10=1.2千克的農(nóng)藥，B中含有10=0.6千克的農(nóng)藥，，A中含有千克的農(nóng)藥，B中含有千克的農(nóng)藥，它們的和應(yīng)與開始時(shí)農(nóng)藥的重量和相等，從而
（常數(shù)）．                    4分
（2）第n次操作后，A中10千克的藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式：由（1）知，代入化簡得  ①           8分
（3）令，利用待定系數(shù)法可求出λ=—9，所以，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
由①，,
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：，
所以．                                            12分
考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推式；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）實(shí)際應(yīng)用問題.