Question

已知()ⁿ的展開(kāi)式中,前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.

(1)證明展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng);

(2)求展開(kāi)式中所有有理項(xiàng).

Answer 1

解:依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，

(),()²,且2·=1+()²,

即n²-9n+8=0.

∴n=8(n=1舍去).

∴T_r+1=

(1)若T_r+1為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)=0,即3r=16.

∵r∈Z,∴這不可能.

∴展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).

(2)若T_r+1為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，

∵0≤r≤8,r∈Z,∴r=0,4,8,

即展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是

T₁=x⁴，T₅=x，T₉=.