Question

探究函數(shù)f（x）=x2+

2

x

(x＞0)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．

x	…	0.25	0.5	0.75	1	1.1	1.2	1.5	2	3	5	…
y	…	8.063	4.25	3.229	3	3.028	3.081	3.583	5	9.667	25.4	…

已知：函數(shù)f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在區(qū)間（0，1）上遞減，問：
（1）函數(shù)f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在區(qū)間

[1，+∞）

上遞增．當(dāng)x=

1

時，y_最小=

3

；
（2）函數(shù)g(x)=9x2+

2

3|x|

在定義域內(nèi)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結(jié)果，不需證明）

Answer 1

分析：（1）由表中數(shù)據(jù)可推測函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上遞增，從而當(dāng)x=1 時，y_最小=3，證明此結(jié)論可利用導(dǎo)數(shù)或均值定理；
（2）利用換元法，設(shè)t=|3x|，將函數(shù)g（x）轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（t），利用（1）中的結(jié)論求最值即可

解答：解：（1）由表中數(shù)據(jù)可知：函數(shù)f（x）=x2+

2

x

(x＞0)在區(qū)間[1，+∞）上遞增．
當(dāng)x=1 時，y_最小=3．
故答案為[1，+∞），1，3
（2）由函數(shù)g（x）=9x2+

2

3|x|

=（3x）2+

2

|3x|

=t²+

2

t

，（令t=|3x|），
由（1）知函數(shù)g（x）有最小值3，
又因為g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函數(shù)，
所以函數(shù)g（x）取得最小值時t=3|x|=1，即x=±

1

3

點評：本題主要考查了利用列表法研究函數(shù)性質(zhì)的方法，利用換元法求函數(shù)最值的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法