Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）求函數(shù)g（x）=f（x）-ax²-x的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）求證：(1+

1

22

)(1+

1

3^

)(1+

1

42

)(1+

1

52

)…(1+

1

n2

)＜e
參考導(dǎo)數(shù)公式：(ln(x+1))′=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)f（x）的解析式代入函數(shù)g（x）中，求函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，讓導(dǎo)函數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出函數(shù)的最大值；
（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入不等式中，引入輔助函數(shù)g（x），把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值恒小于0，對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)函數(shù)后分類討論，分析函數(shù)g（x）的最大值，把所有情況求得的a的范圍取并集即可；
（3）根據(jù)要證明的不等式的特點(diǎn)，取變量x=

1

n2

，利用（1）中得到的等式ln（x+1）≤x，把x替換為

1

n2

后把不等式進(jìn)行放縮變化，整理后即可得到要證得結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)間（x）=f（x）-ax²-x=ax²+ln（x+1）-ax²-x=ln（x+1）-x （x＞-1），
所以g′(x)=

1

x+1

-1=-

x

x+1

 (x＞-1)，
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g^′（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，g^′（x）＜0，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
g（x）_max=g（0）=ln1=0．
（2）因?yàn)楫?dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
設(shè)g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0），只需g（x）_max≤0即可．
g′(x)=2ax+

1

x+1

-1=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，
①當(dāng)a=0時(shí)，g′(x)=

-x

x+1

，當(dāng)x＞0時(shí)，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
②當(dāng)a＞0時(shí)，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

=0，因x∈[0，+∞），所以x=

1

2a

-1，
1°若

1

2a

-1＜0，即a＞

1

2

時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，g^′（x）＞0，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值，此時(shí)不滿足條件；
2°若

1

2a

-1≥0，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)g（x）在(0，

1

2a-1

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

1

2a-1

，+∞)上單調(diào)遞增，同樣g（x）在[0，+∞）上無(wú)最大值，不滿足條件．
③當(dāng)a＜0時(shí)，由g′(x)=

x[2ax+(2a-1)]

x+1

，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g^′（x）＜0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，故g（x）≤g（0）=0成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．
（3）由（1）知ln（x+1）≤x，令x=

1

n2

，所以ln(1+

1

n2

)≤

1

n2

=

1

n•n

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，
所以ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

32

)+…+ln(1+

1

n2

)＜(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=1-

1

n

＜1，
所以ln(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜1=lne，
所以(1+

1

22

)(1+

1

32

)…(1+

1

n2

)＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了分類討論思想，訓(xùn)練了運(yùn)用放縮法證明不等式，解答此題的關(guān)鍵是正確引入輔助函數(shù)，此題為難度較大的題．