Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，把函數(shù)f（x）表示為t的函數(shù)h（t），并寫出定義域；
（3）求g（a）．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)的定義域即使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，根據(jù)偶次方根被開方數(shù)不小于零，列不等式組，解不等式組即可
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．∴

1-x2

=

1

2

t2-1，從而將函數(shù)f（x）換元為h（t），而h（t）的定義域即t=

1+x

+

1-x

的值域，平方后求其值域即可
（3）由（2）知，可用換元法求函數(shù)的值域，函數(shù)h（t）為含參數(shù)的二次函數(shù)，其值域與a的取值有關(guān)，通過討論對稱軸的位置可得最大值關(guān)于a的函數(shù)g（a）．

解答：解：（1）由題意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

⇒

-1≤x≤1 x≥-1 x≥1

⇒-1≤x≤1，∴函數(shù)f（x）的定義域為[-1，1]．
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．
由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，所以t的取值范圍是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t2-1，∴h(t)=a(

1

2

t2-1)+t．即h(t)=

1

2

at2+t-a，定義域為[

2

，2]．
（3）由題意知g（a）即為函數(shù)h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直線t=-

1

a

是拋物線h(t)=

1

2

at2+t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論：
①當a＞0時，函數(shù)y=h(t)，t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②當a=0時，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③當a＜0時，函數(shù)y=h(t)，t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，t=-

1

a

＞0．
a若t=-

1

a

∈(0，

2

)，即a＜-

2

2

時，則g(a)=h(

2

)=

2

；
b若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

2

≤a≤-

1

2

時，則g(a)=h(-

1

a

)=-a-

1

2a

；
c若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0時，則g（a）=h（2）=a+2；
綜上有g(a)=

a+2         a＞- 1 2 -a- 1 2a      - 2 2 ≤a≤- 1 2 2              a＜- 2 2

．

點評：本題考查了求函數(shù)定義域的方法以及利用換元法求函數(shù)值域的方法，解題時要注意換元后函數(shù)的定義域的變化