Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴f（1）+f（-1）=0，可得，解之得a=2-----------（3分）
檢驗(yàn)：a=2時(shí)，，
∴
∴f（x）+f（-x）=0對x∈R恒成立，即f（x）是奇函數(shù)．-----------（5分）
（2）證明：令t=2^x，則
設(shè)x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂
∵t=2^x在R上是增函數(shù)，∴0＜t₁＜t₂
當(dāng)0＜t₁＜t₂時(shí)，==
∵0＜t₁＜t₂
∴t₁-t₂＜0，t₁+1＞0，t₂+1＞0
∴y₁＜y₂，可得f（x）在R上是增函數(shù)---------------（10分）
（3）∵f（x）是奇函數(shù)
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等價(jià)于f（mt²+1）＞f（mt-1）
∵f（x）在R上是增函數(shù)
∴對任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt²+1＞mt-1對任意的t∈R恒成立，
化簡整理得：mt²-mt+2＞0對任意的t∈R恒成立
1°m=0時(shí)，不等式即為2＞0恒成立，符合題意；
2°m≠0時(shí)，有即0＜m＜8
綜上所述，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m＜8-------------（16分）
分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，取x=1，得f（1）+f（-1）=0，解之得a=2，再經(jīng)過檢驗(yàn)可得當(dāng)a=2時(shí)，f（x）+f（-x）=0對x∈R恒成立，所以f（x）是奇函數(shù)；
（2）令t=2^x，得，再用單調(diào)性的定義，證出當(dāng)x₁∈R，x₂∈R且x₁＜x₂時(shí)，y₁-y₂=，討論可得y₁＜y₂，所以f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，并且在R上是增函數(shù)，所以原不等式對任意的t∈R恒成立，即mt²+1＞mt-1對任意的t∈R恒成立，化簡整理得關(guān)于t的一元二次不等式，最后經(jīng)過分類討論，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m＜8．
點(diǎn)評：本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等簡單性質(zhì)和一元二次不等式恒成立等知識點(diǎn)，屬于中檔題．