Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）的離心率e=

2

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（

6

，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）圓O是以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓，M是直線x=-4在x軸上方的一點(diǎn)，過M作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q，當(dāng)∠PMQ=60°時(shí)，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，可得a²=2b²，利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1經(jīng)過點(diǎn)（

6

，1），我們有

6

a2

+

1

b2

=1，從而可求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m），由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°，從而可求M（-4，4），進(jìn)而以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，∴

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²①
∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1經(jīng)過點(diǎn)（

6

，1），
∴

6

a2

+

1

b2

=1②
①代入②可得b²=4
∴a²=2b²=8
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）連接OM，OP，OQ，設(shè)M（-4，m）
由圓的切線性質(zhì)及∠PMQ=60°，可知△OPM為直角三角形且∠OMP=30°
∵|OP|=2

2

，∴|OM|=4

2

∴

16+m2

=4

2

∵m＞0，∴m=4
∴M（-4，4）
∴以O(shè)M為直徑的圓K的方程為（x+2）²+（y-2）²=8
與圓O：x²+y²=8聯(lián)立，兩式相減可得直線PQ的方程為：x-y+2=0

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓的性質(zhì)為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是確定M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定以O(shè)M為直徑的圓K的方程．