Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（2）=0， ＜0（x＞0），則不等式xf（x）＜0的解集 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】解：令g（x）= ， ∵x＞0時(shí)，g′（x）= ＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（﹣x）=f（x），
∴g（﹣x）= =﹣g（x），
g（x）在（﹣∞，0）遞減，
∴g（x）是奇函數(shù)，
g（2）= =0，
∴0＜x＜2時(shí)，g（x）＞0，x＞2時(shí)，g（x）＜0，
根據(jù)函數(shù)的奇偶性，﹣2＜x＜0時(shí)，g（x）＜0，x＜﹣2時(shí)，g（x）＞0，
xf（x）＜0，即x2g（x）＜0，即g（x）＜0，
∴x＞2或﹣2＜x＜0，
所以答案是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．