Question

 

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，⊥平面，，、分別是、的中點。

（Ⅰ）證明：⊥；

（Ⅱ）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

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Answer 1

【答案】

【解析】（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，

可得為正三角形。因為為的中點，所以。 …………1分

又∥，因此�！�………………………………………………2分

因為平面，平面，所以。 ………3分

而，所以平面。 ………………………………4分

又平面，所以。 ……………………………………5分

（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點，連接、

由（Ⅰ）可知：平面，

則為與平面所成的角�！�…………………………………………6分

在中，，

所以當(dāng)最短時，最大， ………………………………………………7分

即當(dāng)時，最大，此時。www.7caiedu.cn           

因此。又，所以，于是。 ……………………8分

因為⊥平面，平面，

所以平面平面。  …………………………………………9分

過作于，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知：平面，

過作于，連接，

則由三垂線定理可知：為二面角的平面角。  ……………………10分

在中，，

又是的中點，在中， www.7caiedu.cn           

又  ………………………………11分

在中， 

即二面角的余弦值為。  ………………………………12分