Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，且 
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

(1) 為奇函數(shù)，見解析；（2）在上的單調(diào)遞增，證明：見解析；
（3）。

本試題主要是考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性的綜合運(yùn)用。
（1），且
∴ ，解得 ，根據(jù)奇偶性的定義得到奇函數(shù)的證明。
(2) ∵ ，由（2）知在上的單調(diào)遞增
又，即，所以可知
又由的對(duì)稱性可知 時(shí)，同樣成立，命題得證。
解 ∵ ，且
∴ ，解得 …………………1分
(1) 為奇函數(shù)，…………………………………..2分
證：∵ ，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234004736718.png" style="vertical-align:middle;" />，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱………………..3分
又
所以為奇函數(shù)………………………………4分
（2）在上的單調(diào)遞增………………………………..5分
證明：設(shè)，
則……………………7分
∵
∴  ，
故，即，在上的單調(diào)遞增  …………9分
（3）解法一
若 ，即，顯然 ，
化簡得，解得………………………..12分
解法二、∵ ，由（2）知在上的單調(diào)遞增
又，即，所以可知
又由的對(duì)稱性可知 時(shí)，同樣成立 ∴