Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

4

+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C在第一象限上的一點(diǎn)，且

PF1

⊥

PF2

．則P到x=

5 3

3

的距離為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程算出它的焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0）、F₂（

3

，0）．設(shè)P（m，n），可得

PF1

、

PF2

的坐標(biāo)，從而將

PF1

⊥

PF2

轉(zhuǎn)化為

PF1

•

PF2

=0，得到關(guān)于m、n的一個(gè)方程，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上聯(lián)解得到m、n的值，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)，即可算出點(diǎn)P到x=

5 3

3

的距離．

解答：解：∵橢圓C：

x2

4

+y2=1中，a²=4且b²=1，
∴c=

a2-b2

=

3

，可得焦點(diǎn)為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．
設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），可得

PF1

=（-

3

-m，-n），

PF2

=（

3

-m，-n）．
∵

PF1

⊥

PF2

，∴

PF1

•

PF2

=（-

3

-m）（

3

-m）+n²=0，即m²+n²=3，…①
又∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴

m2

4

+n2=1，…②
聯(lián)解①②，得m=

2 3

3

、n=

3

3

（舍負(fù)），可得P的坐標(biāo)為（

2 3

3

，

3

3

）．
因此點(diǎn)P到x=

5 3

3

的距離為|

5 3

3

-

2 3

3

|=

3

．
故答案為：

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上的點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角等于90度，求P到已知直線的距離．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．