Question

（2012•鷹潭一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，A₁，A₂分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)．過(guò)右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M(

3

，2)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A₁P與A₂Q交于點(diǎn)S．當(dāng)直線l變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，求此定直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)過(guò)右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M(

3

，2)，可得

3

a2

+

4

a2-3

=1，求出a²=9，b²=a²-c²=6，從而可得橢圓C的方程；
（2）利用特殊位置猜想結(jié)論，再進(jìn)行一般性的證明．將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理可以證明．

解答：解：（1）∵過(guò)右焦點(diǎn)F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為M(

3

，2)．
∴c=

3

，b²=a²-c²=a²-3．
∵點(diǎn)M(

3

，2)在橢圓上，∴

3

a2

+

4

a2-3

=1，
∴3a²-9+4a²=a⁴-3a²
∴a⁴-10a²+9=0，∴（a²-9）（a²-1）=0，
∴a²=9或a²=1＜c²（舍去）．
∴b²=a²-c²=6．
∴橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

6

=1．…（4分）
（2）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，P(1，

4 3

3

)，Q(1，-

4 3

3

)，又A₁（-3，0），A₂（3，0）
lA1P：y=

3

3

(x+3)，lA2Q：y=

2 3

3

(x-3)，聯(lián)立解得S(9，4

3

)．
當(dāng)l過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，y=

6

-

6

x，P(0，

6

)，Q(

9

5

，-

4 6

5

)lA1P：y=

6

3

(x+3)，lA2Q：y=

2 6

3

(x-3)，聯(lián)立解得S(9，4

6

)．
若定直線存在，則方程應(yīng)是x=9．…（8分）
下面給予證明．
把x=my+1代入橢圓方程，整理得（2m²+3）y²+4my-16=0，△＞0成立，記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1y2=

-16

2m2+3

．
lA1P：y=

y1

x1+3

(x+3)，lA2Q：y=

y2

x2-3

(x-3)
當(dāng)x=9時(shí)，縱坐標(biāo)y應(yīng)相等，

12y1

x1+3

=

6y2

x2-3

，須

12y1

m y   1 +4

=

6y2

my2-2

須2y₁（my₂-2）=y₂（my₁+4），須my₁y₂=4（y₁+y₂）
∵y1+y2=

-4m

2m2+3

，y1y2=

-16

2m2+3

．
∴m×

-16

2m2+3

=4×

-4m

2m2+3

成立．
綜上，定直線方程為x=9．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查探究性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用特殊位置猜想結(jié)論，再進(jìn)行證明．