Question

已知f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N₊）
（1）求f₂（x），f₃（x）的表達(dá)式，猜想f_n（x）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）若關(guān)于x的函數(shù)g(x)=x2+f1(x)+f2(x)+…+fn(x)，(n∈N*)在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為12，求n．

Answer 1

分析：（1）利用f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，計(jì)算可得f₂（x），f₃（x）的表達(dá)式，猜想f_n（x）=x+n，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）由f_n（x）=x+n，可得f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=nx+

n(n+1)

2

，再利用配方法確定函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1]上的最小值為12，即可求得n的值．

解答：（1）解：f₂（x）=f₁[f₁（x）]=x+2，f₃（x）=f₁[f₂（x）]=x+3，
猜想f_n（x）=x+n
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，f₁（x）=x+1，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即f_k（x）=x+k，則n=k+1時(shí)，f_k+1（x）=f₁[f_k（x）]=x+k+1
∴n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
由①②可知f_n（x）=x+n；
（2）解：∵f_n（x）=x+n
∴f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=nx+

n(n+1)

2

∴g（x）=x²+f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=x²+nx+

n(n+1)

2

=（x+

n

2

）²+

n2+2n

4

①當(dāng)-

n

2

＞-1，即n＜2時(shí)，函數(shù)在（-∞，-1]上為減函數(shù)，∴x=-1時(shí)，g（x）_min=

n2-n+2

2

=12，方程無正整數(shù)解舍去；
②當(dāng)-

n

2

≤-1，即n≥2時(shí)，x=-

n

2

時(shí)，g（x）_min=

n2+2n

4

=12，∴n=6或n=-8（舍去）
綜上，n=6．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．