Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC，∠BAC為直角，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=2PA．
（1）BC上是否存在一點(diǎn)F，使AD∥平面PEF？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）對(duì)于（1）中的點(diǎn)F，求AF與平面PEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點(diǎn)F，連接EF、PF，由三角形中位線(xiàn)定理，可得EF∥AD，再由線(xiàn)面平行的判定定理，可得AD∥平面PEF．
（2）設(shè)PA=1，則AB=AC=2，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理，得到△PEF的各邊長(zhǎng)，再用正余弦定理算出其面積S_△PEF=

3

4

．設(shè)A到平面PEF的距離為d，利用三棱錐的體積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即得d=

3

3

，最后根據(jù)線(xiàn)面所成角的性質(zhì)，得到AF與平面PEF所成角θ滿(mǎn)足sinθ=

d

AF

=

30

15

，從而得到答案．

解答：解：（1）取CD的中點(diǎn)F，連接EF、PF
∵△ACD中，E、F分別為AC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，且EF=

1

2

AD
∵EF⊆平面PEF，AD?平面PEF，
∴AD∥平面PEF，
所以存在CD的中點(diǎn)F，使AD∥平面PEF．
（2）設(shè)PA=1，則AB=AC=2
∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，AD是BC邊的中線(xiàn)
∴BC=

2

，且AD=BD=CD=

1

2

BC=

2

Rt△ADF中，DF=

1

2

CD=

2

2

，可得AF=

AD2+DF2

=

10

2

∵PA⊥平面ABC，AF⊆平面ABC，
∴PA⊥AF，可得Rt△PAF中，PF=

AP2+AF2

=

14

2

同理可得Rt△PAE中，PE=

AP2+AE2

=

2

∴△PEF中，EF=

1

2

AD=

2

2

，可得cos∠EPF=

PE2+PF2-EF2

2PE•PF

=

5 7

14

由同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin∠EPF=

1-cos2∠EPF

=

21

14

∴△EPF的面積S_△EPF=

1

2

PE•PFsin∠EPF=

1

2

×

2

×

14

2

×

21

14

=

3

4

∵△EAF的面積S_△EAF=

1

4

S_△ADC=

1

4

∴三棱錐P-AEF的體積V=

1

3

×S_△EAF×PA=

1

12

設(shè)A到平面PEF的距離為d，則V_A-PEF=

1

3

×S_△EPF×d=

1

12

即

3

4

d=

1

4

，可得d=

3

3

所以AF與平面PEF所成角θ滿(mǎn)足sinθ=

d

AF

=

30

15

∴AF與平面PEF所成角的正弦值等于

30

15

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面是等腰直角三角形且一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，證明線(xiàn)面平行并求線(xiàn)面所成的角，著重考查了線(xiàn)面平行、垂直的判定與性質(zhì)和直線(xiàn)與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．