Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，點M位于線段PC上，PA∥平面MBD，已知AD=4，BD=4

3

，AB=2CD=8．
（Ⅰ）求

PM

MC

的值；
（Ⅱ）證明：在△ABD內(nèi)存在一點N，使MN⊥平面PBD，并求點N到DA，DB的距離．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于K，連接MK，則

AK

KC

=

AB

DC

=2，由PA∥平面MBD，結(jié)合直線與平面平行的性質(zhì)得PA∥MK，利用比例線段即得

PM

MC

=

AK

KC

=2；
（2）以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，求出各頂點的坐標，在平面直角坐標系xoy中，△ABD的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組，從而得出在△ABO內(nèi)存在一點N，使MN⊥平面PBD，由點N的坐標得點N到DA，DB的距離即可．

解答：解：（1）連接AC交BD于K，連接MK，則

AK

KC

=

AB

DC

=2，
由PA∥平面MBD，平面PAC∩平面MBD=MK，
得PA∥MK，∴

PM

MC

=

AK

KC

=2．（6分）
（2）AD=4，BD=4

3

，AB=8，∴DA⊥DB，
如圖，以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，則由題意得，D（0，0，0），B(0，4

3

，0)，P(2，0，2

3

)，M(-

2

3

，

4 3

3

，

2 3

3

)，設點N的坐標為（x₀，y₀，0），
則

NM

=(x0+

2

3

，y0-

4 3

3

，-

2 3

3

)，
因為MN⊥平面PBD，則

NM

•

DB

=0，

NM

•

DP

=0，∴x0=

4

3

，y0=

4 3

3

，
即點N的坐標為N(

4

3

，

4 3

3

，0)，（12分）
在平面直角坐標系xoy中，△ABD的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組

x＞0 y＜0 3 x-y＜4 3 .

經(jīng)檢驗，點N的坐標滿足上述不等式組，
所以在△ABO內(nèi)存在一點N，使MN⊥平面PBD，
由點N的坐標得點N到DA，DB的距離為

4 3

3

，

4

3

．（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的性質(zhì)，點、線、面的距離的計算，其中根據(jù)已知得到DA⊥DB，建立空間坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的計算問題是解答本題的關鍵．