Question

（本小題滿分14分）如圖，△ABC的外接圓⊙的半徑為，CD⊙所在的平面，BE//CD，CD=4，BC=2，且BE=1，.

（1）求證：平面ADC平面BCDE；

（2）求幾何體ABCDE的體積；

（3）試問線段DE上是否存在點M，使得直線AM與平面ACD所成角的正弦值為？若存在，確定點M的位置，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB       ……   1分

∴   

∵BE=1   ∴  ，        

從而      ……   2分

∵⊙的半徑為，∴AB是直徑，∴AC⊥BC

……   3分

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE      ……   5分

（2）由（1）知：，         ……   6分

                              ……   9分

（3）方法一：

假設點M存在，過點M作MN⊥CD于N，連結(jié)AN，作MF⊥CB于F，連結(jié)AF

∵平面ADC平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，

∴∠MAN為MA與平面ACD所成的角                              ……   10分

設MN=x，計算易得，DN=，MF=                         ……   11分

故

                        ……   12分

解得：（舍去） ，                                     ……   13分

故，從而滿足條件的點存在，且            ……   14分

方法二：建立如圖所示空間直角坐標系C—xyz，則：

A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0）      

則  ………………………   10分

易知平面ABC的法向量為，

假設M點存在，設，則，                       

再設

，即，從而

       …………………………   11分

設直線BM與平面ABD所成的角為，則：

   …………………………   12分

解得，                               …………………………   13分

其中應舍去，而

故滿足條件的點M存在，且點M的坐標為      …………………………   14分