Question

設等差數列{a_n}的各項均為整數，其公差d≠0，a₅=6，若a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比數列，則n₁的值為

 

．

Answer 1

分析：先由a3，a5，an1成等比數列，求得d與n₁的關系，再由d與n₁都是整數求解．

解答：解：設等差數列的公差為d，則a₃=a₅-2d=6-2d，a_n1=a₅+（n₁-5）d=6+（n₁-5）d．
∵a3，a5，an1成等比數列，
∴a₅²=a₃a_n1
化簡即（6n₁-42）d-2（n₁-5）d²=0
∵d≠0所以有 3n₁-21=（n₁-5）d   （1）
顯然d=3不能使等式成立
∴由（1）式可以解出：n₁=（21-5d）/（3-d）
因為n₁＞5，n₁為整數，因此n₁≥6，即（21-5d）/（3-d）≥6   （2）
在（2）中，若d＞3，則 21-5d≤6（3-d）=18-6d，由此得到d≤-3，與d＞3矛盾．
因此只能有d＜3，
當d=2時n₁=11，滿足條件．
故答案是11．

點評：本題主要考查等差、等比數列的綜合運用以及數域的應用．