Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，4）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OE⊥OF，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率為

3

2

，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為

5

，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求直線l的斜率．

解答：解：（Ⅰ）由已知

c

a

=

3

2

，a²+b²=5，…（2分）
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）根據(jù)題意，過點(diǎn)D（0，4）滿足題意的直線斜率存在，設(shè)l：y=kx+4，…（4分）
代入橢圓方程，消去y得（（1+4k²）x²+32kx+60=0，…（5分）
所以△=（32k）²-240（1+4k²）=64k²-240，
令△＞0，解得k2＞

15

4

．…（6分）
設(shè)E，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

32k

1+4k2

，x1x2=

60

1+4k2

，…（7分）
因?yàn)镺E⊥OF，所以

OE

•

OF

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
所以（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=0，
所以

15×(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，解得k=±

19

．…（10分）
所以直線l的斜率為k=±

19

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的步驟方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．