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        1. △ABC的面積為S,三邊長(zhǎng)為a、b、c.
          (1)求證:(a+b+c)2<4(ab+bc+ca)
          (2)若S=(a+b)2-c2,a+b=4,求S的最大值.
          (3)試比較a2+b2+c24
          3
          S
          的大小.
          分析:(1)直接兩邊作差,把平方展開,整理后結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論;
          (2)直接根據(jù)S=
          1
          2
          absinC
          ,c2=a2+b2-2abcosC以及S=(a+b)2-c2,a+b=4,代入整理得到sinC=4cosC+4求出sinC;再結(jié)合基本不等式求出ab的取值范圍即可得到結(jié)論;
          (3)通過(guò)作差結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理整理得到=2a2+2b2-4absin(C+
          π
          6
          )
          ≥2(a-b)2≥0即可得到結(jié)論.
          解答:解:(1)證明:∵(a+b+c)2-4(ab+bc+ca)=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=(a2-ab-ac)+(b2-ab-bc)+(c2-ac-bc)=a(a-b-c)+b(b-a-c)+c(c-a-b)
          ∵a、b、c為△ABC的三邊
          ∴b+c>a  a+c>b   a+b>c
          故(a+b+c)2<4(ab+bc+ca)(4分)
          (2)∵S=
          1
          2
          absinC
          ,c2=a2+b2-2abcosC
          1
          2
          absinC=(a+b)2-a2-b2+2abcosC

          把a(bǔ)+b=4代入整理得:
          ∴sinC=4cosC+4⇒17cos2C+32cosC+15=0⇒cosC=-1或cosC=-
          15
          17

          ∵C∈(0,π)∴sinC=
          8
          17
          (8分)
          S=
          1
          2
          absinC=
          4
          17
          ab

          4=a+b≥2
          ab
          ∴ab∈(0,4]
          S∈(0,
          16
          17
          ]
          (10分)
          (3)a2+b2+c2-4
          3
          S

          =a2+b2+a2+b2-2abcosC-2
          3
          absinC

          =2a2+2b2-2ab(
          3
          sinC+cosC)

          =2a2+2b2-4absin(C+
          π
          6
          )
          ≥2(a-b)2≥0
          a2+b2+c2≥4
          3
          S
          (14分)
          點(diǎn)評(píng):本題綜合考查不等式的證明以及三角形中的幾何計(jì)算.考查計(jì)算能力與分析問(wèn)題的能力.通常不等式的證明采用作差法.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          △A'B'C'斜二測(cè)畫法畫出的正△ABC的直觀圖,記△A'B'C'的面積為S',△ABC的面積為S,則
          S′S
          =
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若△ABC的面積為S=
          14
          (a2+b2-c2)
          ,則∠C的度數(shù)為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖所示,過(guò)點(diǎn)M(m,1)作直線AB交拋物線x2=y于A,B兩點(diǎn),且|AM|=|MB|,過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C.連接AC,BC,記三角形ABC的面積為S,記直線AB與拋物線所圍成的陰影區(qū)域的面積為S
          (1)求m的取值范圍;
          (2)當(dāng)S最大時(shí),求m的值;
          (3)是否存在常數(shù)λ,使得
          SS
          ?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,且tanA+tanB=
          3
          tanAtanB-
          3
          ,c=
          7
          2
          ,又△ABC的面積為S△ABC=
          3
          3
          2
          .求:
          (1)角C的大;
          (2)a+b的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          在△ABC中,已知角A、B、C.所對(duì)的邊分別是a、b、c,邊c=
          7
          2
          ,且tanA+tanB=
          3
          -
          3
          tanA.tanB,又△ABC的面積為S△ABC=
          3
          3
          2
          ,求a+b的值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案