Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁CC₁⊥側(cè)面ABB₁A₁，側(cè)面ABB₁A₁的面積為，CA=CA₁=AB=BB₁=1，∠ABB₁為銳角
（1）求證：CB₁⊥AA₁；
（2）求二面角C-BB₁-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由棱柱的幾何特征及CA=CA₁=AB=BB₁=1可得棱柱的側(cè)面均為菱形，又由側(cè)面ABB₁A₁的面積為，∠ABB₁為銳角，可得到△ABB₁，△AB₁A₁，△CAA₁均為邊長為1的等邊三角形，根據(jù)等邊三角形三線合一及線面垂直的性質(zhì)，由側(cè)面AA₁CC₁⊥側(cè)面ABB₁A₁可得到CO⊥平面ABB₁A₁，進而由三垂線定理得到CB₁⊥AA₁；
（2）由（1）的結(jié)論可得AA₁⊥平面CB₁O，BB₁⊥平面CB₁O，即∠CB₁O是二面角C-BB₁-A的平面角，解△CB₁O可得二面角C-BB₁-A的大�。�
解答：解：（1）∵CA=CA₁=AB=BB₁=1，
∴ABB₁A₁，ABB₁A₁都是菱形，
∵面積=1×1×sinB=，又∠ABB₁為銳角，
∴∠ABB₁=60°，
∴△ABB₁，△AB₁A₁，△CAA₁均為邊長為1的等邊三角形．        …（3分）
∵側(cè)面AA₁CC₁⊥側(cè)面ABB₁A₁，
設(shè)O為AA₁的中點，則CO⊥平面ABB₁A₁，
又OB₁⊥AA₁，
∴由三垂線定理可得CB₁⊥AA₁． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AA₁⊥平面CB₁O（如圖），
∴BB₁⊥平面CB₁O，
∴∠CB₁O是二面角C-BB₁-A的平面角，…（9分）
∴tan∠CB₁O==1，
∴二面角C-BB₁-A的大小為45°．             …（12分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面 角及法，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中求二面角的關(guān)鍵在于構(gòu)造出二面角的平面角．