Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大��；
（2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinAcosC+

1

2

2RsinC=2RsinB，然后利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦公式化簡可得cosA=

1

2

，進(jìn)而求出∠A．
（2）首先利用正弦定理化邊為角，可得l=1+

2

3

(sinB+sinC)，然后利用誘導(dǎo)公式將sinC轉(zhuǎn)化為sin（A+B），進(jìn)而由兩角和與差的正弦公式化簡可得l=1+2sin（B+

π

6

），從而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域問題求解；或者利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解．

解答：解：（1）∵accosC+

1

2

c=b，
由正弦定理得2RsinAcosC+

1

2

2RsinC=2RsinB，
即sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
又∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（2）由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

2sinB

3

，c=

2sinC

3

，
∴l(xiāng)=a+b+c
=1+

2

3

（sinB+sinC）
=1+

2

3

（sinB+sin（A+B））
=1+2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）
=1+2sin（B+

π

6

），
∵A=

π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
故△ABC的周長l的取值范圍為（2，3]．
（2）另解：周長l=a+b+c=1+b+c，
由（1）及余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²=bc+1，
∴（b+c）²=1+3bc≤1+3（

b+c

2

）²，
解得b+c≤2，
又∵b+c＞a=1，
∴l(xiāng)=a+b+c＞2，
即△ABC的周長l的取值范圍為（2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正弦公式、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了基本運(yùn)算能力．