Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B(0,1)、且點(diǎn)A(a,0)(a≠0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作線段AB的垂線交y軸于點(diǎn)D,在直線AD上取點(diǎn)P,使AP=DA.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

(2)點(diǎn)Q是直線y=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作軌跡C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,求證:QM⊥QN.

Answer 1

(1)解:設(shè)P(x,y)、D(0,m),

則由k_AB=,∴=.∴m=-a².則

當(dāng)a≠0時(shí),a=,代入得y=x².

a=0時(shí),也符合上式.

∴P點(diǎn)軌跡C的方程為x²=4y.

(2)證明:設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(n,-1),過Q與C相切的直線為y+1=k(x-n),

x²=4kx-4kn-4,即x²-4kx+4kn+4=0.

Δ=16k²-4(4kn+4)=16k²-16kn-16=0.

∴k²-nk-1=0.∴k₁k₂=-1,即QM⊥QN成立.