Question

(本小題滿分14分)如圖，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，

    分別是的中點，DE⊥面CBB₁.

    (Ⅰ)證明：DE //面ABC；

    (Ⅱ)求四棱錐與圓柱的體積比;

    (Ⅲ)若,求與面所成角的正弦值.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解:證明:連結(jié).

分別為的中點,∴.…2分

又，且.

∴四邊形是平行四邊形，

即.………………3分

∴.………………4分

 

 

 

 

∵，且由知.

∴,∴,∴.………………6分

因是底面圓的直徑，得，且,

∴即為四棱錐的高. ………………………………7分

設(shè)圓柱高為，底半徑為，則，,

∴.………………………………9分

解一：由可知，可分別以為

坐標(biāo)軸建立空間直角標(biāo)系，如圖設(shè)，

則,,,

從而,

，由題設(shè)知是面的法向量，

 

 

 

設(shè)所求的角為.…………………………………12分則

.………………………………14分

 

解二：作過的母線，連結(jié)，則是上底

面圓的直徑，連結(jié)，得，

又,∴，連結(jié),

則為與面所成的角,

設(shè)，則,.(12分),

在中，.(14分)

 

【解析】略