Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下列三個(gè)條件：（1）f（x+3）=-

1

f(x)

；（2）對(duì)任意3≤x₁＜x₂≤6，都有f（x₁）＜f（x₂）；（3）y=f（x+3）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A、f（3）＜f（7）＜f（4.5）
• B、f（3）＜f（4.5）＜f（7）
• C、f（7）＜f（4.5）＜f（3）
• D、f（7）＜f（3）＜f（4.5）

Answer 1

分析：先由f（x+3）=-

1

f(x)

，得函數(shù)周期為6，得到f（7）=f（1）；再利用y=f（x+3）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到y(tǒng)=f（x）的圖象關(guān)于x=3軸對(duì)稱，進(jìn)而得到f（1）=f（5）；最后利用條件（2）得出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閒（x+3）=-

1

f(x)

，
所以f（x+6）=-

1

f(x+3)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x）；
即函數(shù)周期為6，故f（7）=f（1）．
又因?yàn)閥=f（x+3）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以y=f（x）的圖象關(guān)于x=3軸對(duì)稱．
所以f（1）=f（5）．
又對(duì)任意3≤x₁＜x₂≤6，都有f（x₁）＜f（x₂）；
所以f（3）＜f（4.5）＜f（5）=f（1）=f（7）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性，周期性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵有兩處：①由f（x+3）=-

1

f(x)

，得函數(shù)周期為6；②由y=f（x+3）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得到y(tǒng)=f（x）的圖象關(guān)于x=3軸對(duì)稱．