Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

1

2

n(n-1)，且a_n是b_n與1的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=

1

nan

(n≥2)，求c₂+c₃+c₄+…+c_n；
（3）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，是否存在n∈N*使得f（n+11）=2f（n），并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n大于等于2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1得出通項(xiàng)公式，然后把n=1代入通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由a_n是b_n與1的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2a_n=b_n+1，由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）得出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入cn=

1

nan

(n≥2)，利用拆項(xiàng)的方法變形，然后列舉出c₂+c₃+c₄+…+c_n的各項(xiàng)，抵消合并可求出值；
（3）不存在，理由為：分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況考慮：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+11為偶數(shù)，分別代入相應(yīng)的解析式中求出f（n）和f（n+11），發(fā)現(xiàn)方程f（n+11）=2f（n）無(wú)解；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n+11為奇數(shù)，分別代入相應(yīng)的解析式中求出f（n）和f（n+11），發(fā)現(xiàn)方程f（n+11）=2f（n）也無(wú)解，故不存在n使f（n+11）=2f（n）．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n（n-1）-

1

2

（n-1）（n-2）=n-1，
把n=1代入驗(yàn)證，滿足通項(xiàng)公式，
則a_n=n-1，又a_n是b_n與1的等差中項(xiàng)，
則b_n=2a_n-1=2（n-1）-1=2n-3；
（2）因?yàn)閍_n=n-1，
所以cn=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，
則c₂+c₃+c₄+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

；
（3）不存在，理由為：
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n+11為偶數(shù)，
此時(shí)f（n）=a_n=n-1，f（n+11）=b_n+11=2n+19，
由f（n+11）=2f（n）知無(wú)解；
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n+11為奇數(shù)，
此時(shí)f（n）=b_n=2n-3，f（n+11）=a_n+11=n+10，
由f（n+11）=2f（n）知無(wú)解，
所以滿足題意的n不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的求和，以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，其中注意第二小問(wèn)拆項(xiàng)的方法

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．