Question

【題目】設(shè)個(gè)正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈，其中是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列.

（1）若，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；

（2）若，求的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)是否存在正整數(shù)，滿(mǎn)足？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）時(shí)，存在滿(mǎn)足等式.

【解析】

（1）先由題意得到，確定數(shù)列中元素，即可得出結(jié)果；

（2）先由是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到；根據(jù)是公比為的等比數(shù)列，所以，推出，再由題意，即可得出結(jié)果；

（3）先由題意得到，，得到，再由題中條件，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.

（1）由題意可得：，

因此數(shù)列為共個(gè)數(shù)，

此時(shí)，；

（2）因?yàn)?/span>是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；

而是公比為的等比數(shù)列，所以，因此，

所以，因此，要使最大，則最大；

又，故的最大值為，可得：，

解得：；即的最大值為；

（3）由是公差為的等差數(shù)列，可得：，

而是公比為的等比數(shù)列，所以.

故，即，

又，，

所以，即，

即，即，因此，

所以，

所以；代入驗(yàn)證可得：當(dāng)時(shí)，上式等式成立，此時(shí)；

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在滿(mǎn)足等式.