Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點(diǎn)、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖3所示，其中，，，．

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的大�。�

 

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分14分）

（本小題主要考查空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面關(guān)系，二面角，三視圖等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力．）

方法1：（1）證明：因?yàn)?sub>，，所以，即．

又因?yàn)?sub>，，所以平面．

因?yàn)?sub>，所以．………………………………………4分

（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．…………………………………………………………………7分

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

由（1）知，，，所以平面．

因?yàn)?sub>平面，所以．

所以為二面角的平面角．………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△為直角三角形．

在△中，，，則．

由，解得．

因?yàn)?sub>．………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小為．………………………………14分

方法2：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．……………………………………………3分

以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在的射線(xiàn)分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．

…………………5分

因?yàn)?sub>，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?sub>，

所以即

取，則是平面的一個(gè)法向量．……………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一個(gè)法向量．………………………………12分

因?yàn)?sub>，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小為．……………………………………14分

方法3：（1）證明：因?yàn)?sub>，，所以，即．

又因?yàn)?sub>，，所以平面．

因?yàn)?sub>，

所以．……………………………………………………………………4分

（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．……………………………………………………7分

以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在的射線(xiàn)分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．

……………9分

設(shè)是平面的法向量，

則即

取，則是平面的一個(gè)法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一個(gè)法向量．……………………………12分

因?yàn)?sub>，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小為．……………………………………14分