Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（2，0）在橢圓C上，斜率為1的直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線過點(diǎn)F（1，0），求線段的長(zhǎng)；

（3）若直線過點(diǎn)（m，0），且以為直徑的圓恰過原點(diǎn)，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）橢圓C的方程；（2）線段的長(zhǎng)為；（3）直線的方程為 .

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（2，0）在橢圓C上，代入即可求得橢圓C的方程；（2）先用點(diǎn)斜式寫出直線方程，再和橢圓方程聯(lián)立，用弦長(zhǎng)公式即可求出線段的長(zhǎng)為；（3）設(shè)直線的方程為，直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為，，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出，而以線段為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，即；聯(lián)立即可求出直線的方程為 .

試題解析：（1）由題意：，，，

所求橢圓方程為. 4分

（2）由題意，直線的方程為：.

由得，

所以. 6分

（3）設(shè)直線的方程為，

由消去y整理得.

因?yàn)橹本�l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，

所以

解得：

設(shè)，，

則，，

所以，

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，所以，

所以，即

解得，.

所求直線的方程為 10分

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線綜合問題、方程思想的應(yīng)用.