Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，頂點A₁在底面ABC上的射影恰為B點，且AB=AC=A₁B=2．
（Ⅰ）分別求出AA₁與底面ABC，棱BC所成的角；
（Ⅱ）在棱B₁C₁上確定一點P，使，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定∠A₁AB就是AA₁與底面ABC所成的角，即可求出AA₁與底面ABC所成的角，建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，可求AA₁與棱BC所成的角；
（Ⅱ）確定P為棱B₁C₁的中點，求出平面P-AB-A₁的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）因為A₁在底面ABC上的射影恰為B點，所以A₁B⊥底面ABC．
所以∠A₁AB就是AA₁與底面ABC所成的角．
因AB=A₁B=2，A₁B⊥AB，故 ，
即AA₁與底面ABC所成的角是．…（3分）
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），，．
則，
故AA₁與棱BC所成的角是．…（7分）
（Ⅱ）設，則P（2λ，4-2λ，2）．
于是（舍去），
則P為棱B₁C₁的中點，其坐標為P（1，3，2）．…（9分）
設平面P-AB-A₁的法向量為，則，
故．…（11分）
而平面ABA₁的法向量是，
則，
故二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值是．…（14分）
點評：本題考查空間角，考查向量知識的運用，正確求出平面的法向量，利用向量的夾角公式是關鍵．