Question

探究f(x)=x+

1

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定相應(yīng)的x的值，類表如下：

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…	17 4	10 3	5 2	2	5 2	10 3	17 4	…

請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成下列的問(wèn)題：
（1）若x₁x₂=1，則f（x₁）

 

f（x₂）（請(qǐng) 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函數(shù)f(x)=x+

1

x

，(x＞0)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則在區(qū)間

 

上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x=

 

時(shí)，f(x)=x+

1

x

，(x＞0)的最小值為

 

．
（3）證明函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）以及x₁x₂=1，計(jì)算f（x₁）與f（x₂），得出結(jié)論；觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，得出結(jié)論；
（2）由表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，得出x=1時(shí)，f（x）的最小值為2；
（3）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的增減性．

解答：解：（1）∵f（x）=x+

1

x

，當(dāng)x₁x₂=1時(shí)，x₁=

1

x2

，∴f（x₁）=x₁+

1

x1

=

1

x2

+x₂=f（x₂），∴應(yīng)填：=；
觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，∴應(yīng)填：（1，+∞）；
  （2）由表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，知當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=x+

1

x

，(x＞0)的最小值為2；∴應(yīng)填：1，2；
（3）設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）；
∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)函數(shù)值表判定函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，也考查了利用函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．