Question

空間不共面的四點(diǎn)A、B、C、D依次到平面α的距離之比是2：2：2：3，則滿足條件的平面α的個(gè)數(shù)為

8

個(gè)．

Answer 1

分析：根據(jù)幾何體的頂點(diǎn)在平面α兩側(cè)還是同側(cè)兩種情況討論，而在平面α兩側(cè)時(shí)又分兩類進(jìn)行討論，即平面α一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)與平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)兩類，再把所有結(jié)果綜合在一起得到答案．

解答：解：因?yàn)榭臻g四點(diǎn)不共面，所以四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三棱錐，
當(dāng)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在平面α的同側(cè)時(shí)，α只有一個(gè)；
當(dāng)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)分別處在平面α的兩側(cè)時(shí)，由兩種情況：
①當(dāng)平面α一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，使截面與三棱錐的四個(gè)面之一平行，第四個(gè)頂點(diǎn)到這個(gè)截面的距離與其相對的面到此截面的距離之比為2：3，這樣的平面α有4個(gè)；
②當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，
舉例說明：A、B與C、D分別在平面α的兩側(cè)時(shí)，取CA、CB的中點(diǎn)P、Q，在DA、DB上取點(diǎn)S、R，使

DS

AS

=

DR

BR

=

3

2

，則確定平面PQRS就是α，
則滿足條件的平面共有3個(gè)．
所以由以上可得滿足條件的平面共有8個(gè)．
故答案為8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中點(diǎn)與平面的位置關(guān)系的問題，由于四點(diǎn)不共面所以把四個(gè)點(diǎn)抽象為三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，再結(jié)合幾何體的特征進(jìn)行分類討論得到答案，考查了學(xué)生的分類討論思想和空間想象能力．