Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，|

F1F2

|=2，離心率 e=

1

2

，過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線 l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線 l的傾斜角為

π

4

，求線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件及e=

c

a

、a²=b²+c²即可解出a、b、c，從而求出橢圓C的方程；
（2）利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立即可得出關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵2c=|

F1F2

|=2，∴c=1，
又由e=

c

a

=

1

2

，得a=2，∴b²=2²-1²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵F₂（1，0），k_l=tan

π

4

=1．
∴直線l：y=x-1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
線段MN的中點(diǎn)為G（x₀，y₀）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x1+x2=

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=

4

7

，y0=x0-1=-

3

7

，
故線段MN的中點(diǎn)為(

4

7

，-

3

7

)．

點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線與圓錐曲線的相交問題的解題方法是解題的關(guān)鍵．