Question

設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=

1

2x+b

-a是R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并請(qǐng)你用函數(shù)的單調(diào)性給予證明；
（Ⅲ）不等式f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函數(shù)性質(zhì)得，f（0）=0，f（-1）=-f（1），由此得關(guān)于a，b的方程組，解出a，b即可，注意檢驗(yàn)；
（Ⅱ）定義法：由（Ⅰ）知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，設(shè)x₁＜x₂，利用作差f（x₁）-f（x₂）可證f（x₁）＞f（x₂），由單調(diào)性定義可得結(jié)論；
（Ⅲ）利用函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符合“f”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可解決；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，
所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即

1

1+b

-a=0①，

1

2-1+b

-a=-（

1

2+b

-a）②，
聯(lián)立①②解得

a= 1 2 b=1

，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
所以實(shí)數(shù)a=

1

2

，b=1；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（

1

2x1+1

-

1

2

）-（

1

2x2+1

-

1

2

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因?yàn)閤₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
（Ⅲ）因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0可化為f（2^x+1+4^x）＜-f（m-2）=f（2-m），
又f（x）單調(diào)遞減，所以2^x+1+4^x＞2-m，
由題意，只需（2^x+1+4^x）_min＞2-m，
而2^x+1+4^x=（2^x+1）²-1＞0，
所以2-m≤0，即m≥2，
實(shí)數(shù)m的范圍為m≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力．